Welcome Guest ( Log In | Register )

Help | Search | Members | Calendar

 
Условие Липшица и все такое..., вспомните мат. анализ!
« Next Oldest | Next Newest » Track this topic | Email this topic | Print this topic
Master of Puppets
Posted: Dec 16 2008, 21:42

Eye of the Vision

Group: Moderator
Member No.: 2067

Joined: August 29, 2006

Привет, формучане smile.gif
Я тут кое-что хочу доказать, и вроде бы даже доказал, но я не уверен, что доказательство правильное. Если кому не лень, посмотрите его и попытайтесь найти ошибку.

А доказать нужно следующее:
Класс функций, непрерывно дифференцируемых на [a; b] строго уже класса функций, удовлетворяющих условию Липшица на [a; b], последний же строго уже класса функций, непрерывных на [a; b].

Докажем, что любая функция, имеющая нерпрерывную производную 1-го порядка на [a; b] удовлетворяет условию Липшица на [a; b].
Напомним, что функция y = f(x) удовлетворяет условию липшица на [a; b], если существует L > 0 такое что |f(x1) - f(x2)|<=L*|x1-x2| для любых (несовпадающих) x1 и x2 из [a; b].
Пусть y=f(x) непрерывно дифференцируема на [a; b]. В силу непрерывности, по теореме Вейерштрасса, производная f(x) ограничена на [a; b]: |f'(x)|<=M.
По теореме Лагранжа, для любых c1 и с2 из [a; b] существует с (с1<c<c2) такое, что
f'©=(f(c2)-f(c1))/(c2-c1), или просто |f(c2)-f(c1)| = |f'©||c2-c1| <= M*|c2-c1|, откуда приходим к выводу, что f удовлетворяет усл-ю Липшица, если L = M (напомним, что |f'©|<=M).
Таким образом, любая функция, имеющая нерпрерывную производную 1-го порядка на [a; b] удовлетворяет условию Липшица на [a; b].Однако, существует функция, удовлетворяющая условию Липцшица на (-беск.; +беск.), но не являющаяся непрерывно дифференцируемой на этом интервале. Это функция y = |x|.
Действительно, из "обратного неравентва треугольника" ||x1|-|x2||<=|x1-x2|, т.е. усл. Липшица выполнено, причем L = 1.
Однако, в точке 0 |x| не имеет не то что непрерывной, а вообще нихера производной не имеет, ибо левосторонняя и правосторонняя производные не равны друг другу (одна равна -1, другая 1). Как видим, хотя всякая непрерывно дифференцируемая на [a;b] функция удовлетворяет Липшица, не всякая функция, удовлетворяющая условию Липшица на [a; b] является непрерывно дифференцируемой.
Легко доказать, что если функция "Липшицева", то она непрерывна. Действительно, для любого Э (эпсилон) достаточно взять б = Э/L и тогда
|f(x2)-f(x1)|<=L|x2-x1|<=Lб=Э, т.е. налицо непрерывность.
Однако, не всякая непрерывная функция - Липшицева. Действительно, для функции y=x^2 для любого L достаточно взять x1 и x2 так что |x1+x2| > L чтобы |x2^2 - x1^2| >L|x2-x1|.
Таким образом, хотя y=x^2 и непрерывна на (-беск.; +беск.), она не удовлетворяет Липшица на этом интервале. То есть класс Липшицевых функций строго уже класса непрерывных.

Ну что, правильно? wink.gif

--------------------
Master of Puppets, I'm pulling your strings, twisting your mind and smashing your dreams!
⠠⠵
 
       Top
Dream_InspectoR
Posted: Dec 16 2008, 22:51

Eye of the Vision

Group: Moderator
Member No.: 614

Joined: February 10, 2004

QUOTE (In the immortal words of Master of Puppets, since Dec 16 2008, 22:42...)
Однако, не всякая непрерывная функция - Липшицева. Действительно, для функции y=x^2 для любого L достаточно взять x1 и x2 так что |x1+x2| > L чтобы |x2^2 - x1^2| >L|x2-x1|.
Таким образом, хотя y=x^2 и непрерывна на (-беск.; +беск.), она не удовлетворяет Липшица на этом интервале. То есть класс Липшицевых функций строго уже класса непрерывных.


Камрад y=x*x непрерывно дифференцируема сколько раз хочешь и уж точно удовлетврояет условию Липшица. Предлагаю взять что нибудь неограниченное...

--------------------
Kill'em!!! Kill'em ALL!!!
 
        Top
Master of Puppets
Posted: Dec 16 2008, 23:02

Eye of the Vision

Group: Moderator
Member No.: 2067

Joined: August 29, 2006

QUOTE (In the immortal words of Dream_InspectoR, since Dec 16 2008, 22:51)
QUOTE (In the immortal words of Master of Puppets, since Dec 16 2008, 22:42...)
Однако, не всякая непрерывная функция - Липшицева. Действительно, для функции y=x^2 для любого L достаточно взять x1 и x2 так что |x1+x2| > L чтобы |x2^2 - x1^2| >L|x2-x1|.
Таким образом, хотя y=x^2 и непрерывна на (-беск.; +беск.), она не удовлетворяет Липшица на этом интервале. То есть класс Липшицевых функций строго уже класса непрерывных.


Камрад y=x*x непрерывно дифференцируема сколько раз хочешь и уж точно удовлетврояет условию Липшица. Предлагаю взять что нибудь неограниченное...

хорошо что написал сюда, а то б еще спорол бы эту фигню на экзамене и мне тогда бы был пистец smile.gif подумаю еще...

--------------------
Master of Puppets, I'm pulling your strings, twisting your mind and smashing your dreams!
⠠⠵
 
       Top
Master of Puppets
  Posted: Dec 16 2008, 23:18

Eye of the Vision

Group: Moderator
Member No.: 2067

Joined: August 29, 2006

Кстати, моя ошибка была даже не в том, что я брал именно функцию x^2, а в том, что я ее раcсматривал на бесконечном промежутке. Но я совсем забыл, что утверждение-то формулируется и доказывается для конечных промежутков!

--------------------
Master of Puppets, I'm pulling your strings, twisting your mind and smashing your dreams!
⠠⠵
 
       Top
DZUK
Posted: Dec 17 2008, 13:29

Light Bringer

Group: Elite Member
Member No.: 2803

Joined: March 29, 2007

угу, ибо ты там пользуеш ограниченность производной. А ограниченность ты ты получаеш из теоремы Вайерштраса, которaя работает тока на компактных множествах(в частности на отрезке [a,b]);

--------------------
Обьединенные части целого есть нечто большее, чем просто их сумма.
 
     Top
4 replies since Dec 16 2008, 21:42 Track this topic | Email this topic | Print this topic

<< Back to Mathematics

 




Arminco Global Telecommunications